导数（Derivative）是微积分中的一个核心概念，是函数的局部性质。用于描述函数在某一点处附近的变化率。它在物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，例如描述物体的速度、曲线的斜率等。

如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。例如在运动学中，物体的位移对于时间的导数就是物体的瞬时速度。

导数的定义

几何意义：导数表示函数图像在某一点处的切线斜率。如果函数 y = f(x) 在点 x = a 处可导，那么导数 f'(a) 就是函数曲线在 x = a 处的切线的斜率。

数学定义：函数 f(x) 在点 x = a 处的导数定义为：其中：

• h 是自变量的增量；
• 是函数在区间 [a, a+h] 上的平均变化率；
• 当 h 趋近于 0 时，平均变化率的极限就是函数在 x = a 处的瞬时变化率，即导数。

导数的符号表示

• 莱布尼茨表示法：其中 y = f(x) ，dy 和 dx 分别表示函数值和自变量的微小变化。
• 拉格朗日表示法： f'(x) 表示函数 f(x) 的导数。
• 牛顿表示法：将导数用函数符号上方的点来表示。

导数的性质

单调性：如果一元函数的导函数在某一区间内恒大于零（或恒小于零），那么函数在这一区间内单调递增（或单调递减），这种区间也称为函数的单调区间。导函数等于零的点称为函数的驻点（或极值可疑点），在这类点上函数可能会取得极大值或极小值。进一步判断则需要知道导函数在附近的符号。

凹凸性：可导函数的凹凸性与其导函数的单调性有关。如果函数的导函数在某个区间上单调递增（减），那么在这个区间上函数是向下（上）凸的，称为下（上）凸函数。

导数的物理意义

在物理学中，导数可以用来描述各种变化率：

• 速度：位移对时间的导数是速度。
• 加速度：速度对时间的导数是加速度。
• 功率：功对时间的导数是功率。